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Eroticgangbang Address%3EApache%20Server%20at%20wallpaperx Org%20Port%2080%3C Address Erotic Gangbang 分數微積分 - 維基百科，自由的百科全書

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在這個上下文中，冪指反覆應用，和

中的平方意義相同。例如，可以提出如何解釋如下符號的問題

作為微分算子的平方根(半次操作),也就是一種算子操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的，

對於實數值的s，使得當s為整數時，若n>0,它等同於通常的冪n次操作，當n<0,它等同於n次積分J。

討論這個問題有幾個原因。一個是，這樣冪Dn組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。注意，分數是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數,但是分數微積分已成為習慣用法。

目錄

[編輯] 試探法

一個很自然的想法是問, 是否存在一個算子起到半導數的作用，即使得:

結論是: 這樣的算子是存在的, 對於任意, 存在一個算子, 滿足:

,

或者換一個說法, 的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.

在這裡我們引入Γ函數將階乘擴展到實數和複數域上. Γ函數的定義如下:

.

假設對函數 在0到x上求積分, 我們可以形式的定義積分算子J:

重複這個過程, 可得:

,

這個過程可以任意的重複下去.

利用重複積分的柯西公式，即:

我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分算子。

直接利用函數將離散的階乘擴展為連續的函數。我們可以自然的得到分數積分算子的表達形式

這個算子定義明確而且具有良好的性質。

可以證明J算子滿足如下關係

這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分算子將變得相當困難，而且定義出來的微分算子D一般來說不對易也不具有疊加性。

[編輯] 分數微分在一個簡單函數上的應用

函數(藍色線條)的半導數(灰色線條)以及一階導數(紅色線條).

假設有一個函數

它的一階導數一般是:

重複這一過程, 得到更一般的結果:

將階乘用伽瑪函數替換, 可得:

當k = 1, 並且a = 1/2 時我們可以得到函數的半導數:

重複這一過程, 得:

這正是期望的結果:

以上微分算子的擴展不僅僅局限於實數次. 舉個例子, 階導數作用後, 階導數再作用, 可以得到二階導數. 同時如果a為負則可為求積分.

分數微分可以得到上述相同的結果(當).

對於任意的, 由於伽瑪函數的參數在實數部為負整數時沒有定義, 需要在分數微分前先進行整數微分. 例子,

[編輯] 應用

WKB近似

對於一個一維的量子系統進行准經典的近似時，系統哈密頓量中的倒數可由對態密度的半階微分求出

這裡採用了自然單位制，即[1]

[編輯] 相關條目

[編輯] 參考文獻

  1. ^ Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore; (February 2011) ISBN 978-981-4340-24-3 (physics/8072.html)

[編輯] 外部連結

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